Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

n(1+an)

2

（n=1，2，3，…）
（1）求a₁的值；
（2）求證：（n-2）a_n+1=（n-1）a_n-1（n≥2）；
（3）判斷數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列，并說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接在數(shù)列遞推式中取n=1求解a₁的值；
（2）在數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，和原遞推式作差后整理即可證得（n-2）a_n+1=（n-1）a_n-1（n≥2）；
（3）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，再在原遞推式中取n=n-2得遞推式，與n=n-1時的遞推式作差，然后借助于等差中項的概念得答案．

解答： （1）解：由S_n=

n(1+an)

2

，得a1=S1=

1+a1

2

，解得a₁=1；
（2）證明：∵S_n=

n(1+an)

2

，
∴Sn-1=

(n-1)(1+an-1)

2

(n≥2)．
兩式作差得：an=

nan+1-(n-1)an-1

2

，
即（n-2）a_n+1=（n-1）a_n-1（n≥2）；
（3）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
事實上，
由S_n=

n(1+an)

2

，
∴Sn-1=

(n-1)(1+an-1)

2

(n≥2)．
Sn-2=

(n-2)(1+an-2)

2

(n≥3)．
由（2）可得，an-1=Sn-1-Sn-2=

(n-1)an-1+1-(n-2)an-2

2

（n≥3）．
∴an-an-1=

nan-2(n-1)an-1+(n-2)an-2

2

．
即（n-2）a_n-2（n-2）a_n-1+（n-2）a_n-2=0．
∵n≥3，
∴a_n-2a_n-1+a_n-2=0，即a_n-a_n-1=a_n-1-a_n-2（n≥3）．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，a₂-1為公差的等差數(shù)列．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了學生的計算能力，是中檔題．