Question

對于數(shù)列{a_n}，把a(bǔ)₁作為新數(shù)列{b_n}的第一項(xiàng)，把a(bǔ)_i或-a_i（i=2，3，4，…，n）作為新數(shù)列{b_n}的第i項(xiàng)，數(shù)列{b_n}稱為數(shù)列{a_n}的一個生成數(shù)列．例如，數(shù)列1，2，3，4，5的一個生成數(shù)列是1，-2，-3，4，5．已知數(shù)列{b_n}為數(shù)列{

1

2n

}（n∈N^*）的生成數(shù)列，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）寫出S₃的所有可能值；
（Ⅱ）若生成數(shù)列{b_n}滿足S_3n=

1

7

（1-

1

8n

），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）證明：對于給定的n∈N^*，S_n的所有可能值組成的集合為{x|x=

2k-1

2n

，k∈N^*，k≤2^n-1}．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知，b1=

1

2

，|bn|=

1

2n

(n∈N*，n≥2)，即可寫出S₃的所有可能值；
（Ⅱ）生成數(shù)列{b_n}滿足S_3n=

1

7

（1-

1

8n

），結(jié)合{b_n}是{

1

2n

}(n∈N*)的生成數(shù)列，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）滿足條件

1

2n

≤

x

2n

≤

2n-1

2n

的奇數(shù)x共有2^n-1個，證明只有當(dāng)數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)完全相同時，才有S_n=T_n，可得Sn=

1

2

±

1

22

±

1

23

±…±

1

2n

共有2^n-1種情形，其值各不相同，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，b1=

1

2

，|bn|=

1

2n

(n∈N*，n≥2)，
∴b2=±

1

4

  ，  b3=±

1

8

，
由于

1

2

+

1

4

+

1

8

=

7

8

，

1

2

+

1

4

-

1

8

=

5

8

 ， 

1

2

-

1

4

+

1

8

=

3

8

 ， 

1

2

-

1

4

-

1

8

=

1

8

，
∴S₃可能值為

1

8

 ， 

3

8

 ， 

5

8

 ， 

7

8

．…（3分）
（Ⅱ）∵S3n=

1

7

(1-

1

8n

)，
當(dāng)n=1時，a1+a2+a3=S3=

1

7

(1-

1

8

)=

1

8

，
當(dāng)n≥2時，a3n-2+a3n-1+a3n=S3n-S3n-3=

1

7

(1-

1

8n

)-

1

7

(1-

1

8n-1

)=

1

8n

，
∴a3n-2+a3n-1+a3n=

1

8n

，n∈N^*，…（5分）
∵{b_n}是{

1

2n

}(n∈N*)的生成數(shù)列，
∴b3n-2=±

1

23n-2

；b3n-1=±

1

23n-1

；b3n=±

1

23n

；
∴b3n-2+b3n-1+b3n=±

1

23n-2

±

1

23n-1

±

1

23n

=

1

8n

(±4±2±1)=

1

8n

(n∈N*)，
在以上各種組合中，
當(dāng)且僅當(dāng)b3n-2=

4

8n

 ， b3n-1=-

2

8n

 ， b3n=-

1

8n

(n∈N*)時，才成立．
∴bn=

1 2n  ， n=3k-2 ，  - 1 2n  ， n≠3k-2 .

 (k∈N*)．…（8分）
（Ⅲ）證明：Sn=

1

2

±

1

22

±

1

23

±…±

1

2n

共有2^n-1種情形．

1

2

-

1

22

-

1

23

-…-

1

2n

≤Sn≤

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

，即

1

2n

≤Sn≤

2n-1

2n

，
又Sn=

2n-1±2n-2±2n-3±…±1

2n

，分子必是奇數(shù)，
滿足條件

1

2n

≤

x

2n

≤

2n-1

2n

的奇數(shù)x共有2^n-1個．…（10分）
設(shè)數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}為兩個生成數(shù)列，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，從第二項(xiàng)開始比較兩個數(shù)列，設(shè)第一個不相等的項(xiàng)為第k項(xiàng)．
由于|ak|=|bk|=

1

2k

，不妨設(shè)a_k＞0，b_k＜0，
則

Sn-Tn=(ak+ak+1+…+an)-(bk+bk+1+…+bn)

≤2×

1

2k

-2×(

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2n

)=2×

1

2k

-2×(

1

2k

-

1

2n

)=

1

2n-1

＞0，
所以，只有當(dāng)數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)完全相同時，才有S_n=T_n．…（12分）
∴Sn=

1

2

±

1

22

±

1

23

±…±

1

2n

共有2^n-1種情形，其值各不相同．
∴S_n可能值必恰為

1

2n

 ， 

3

2n

 ， 

5

2n

 ， … ， 

2n-1

2n

，共2^n-1個．
即S_n所有可能值集合為{x|x=

2k-1

2n

 ， k∈N* ， k≤2n-1}．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查新定義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．