Question

【題目】請你設計一個包裝盒，是邊長為的正方形硬紙片（如圖1所示），切去陰影部分所示的四個全等的等腰三角形，再沿虛線折起，使得，，，四個點重合于圖2中的點，正好形成一個正四棱錐形狀的包裝盒（如圖2所示），設正四棱錐的底面邊長為.

（1）若要求包裝盒側面積不小于，求的取值范圍；

（2）若要求包裝盒容積最大，試問應取何值？并求出此時包裝盒的容積.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，包裝盒容積最大為

【解析】

（1）結合已知可建立側面積關于的函數關系，然后由側面積不小于，可建立關于的不等式，即可求得的取值范圍；
（2）先利用表示出的函數關系，結合導數可求其最大值．

（1）在圖1中連結，交于點，設與交于點，在圖2中連結，

因為是邊長為的正方形，所以，

由，得，，

因為，即，所以.

因為，

由，得，所以.

答：的取值范圍是.

（2）因為在中，，

所以，

，，

設，，

所以，

令，得或（舍去）.

列表得，

		8
	+	0	-
		極大值

所以當時，函數取得極大值，也是最大值，

所以當時，的最大值為.

答：當時，包裝盒容積最大為.