15.已知$f(x)=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$,
(Ⅰ)判斷f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明之;
(Ⅲ)求f(x)的值域.

分析 (Ⅰ)用函數(shù)的奇偶性定義判斷,先求函數(shù)的定義域,看是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,再判斷f(-x)與f(x)是相等還是相反即可;
(Ⅱ)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,作差f(x1)-f(x2),并利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),判斷出f(x1)與f(x2)的大小,即可證明f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù);
(Ⅲ)可運(yùn)用分離常數(shù)的辦法求此函數(shù)的值域,將函數(shù)f(x)等價轉(zhuǎn)化為f(x)=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$,再由復(fù)合函數(shù)值域的求法即換元法,求此函數(shù)值域即可.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)镽,
f(-x)+f(x)=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$+$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{(2}^{x}-1){(2}^{-x}+1)+{(2}^{-x}-1){(2}^{x}+1)}{{(2}^{x}+1){(2}^{-x}+1)}$=0,
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(Ⅱ)f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù)
證明:設(shè)x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2
則f(x1)-f(x2)=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{(2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}})}{{(2}^{{x}_{1}}+1){(2}^{{x}_{2}}+1)}$,
∵x1,x2∈R,且x1<x2
∴ax1-ax2<0,ax1+1>0,ax2+1>0,
∴$\frac{2{(2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}})}{{(2}^{{x}_{1}}+1){(2}^{{x}_{2}}+1)}$<0,
即f(x1)-f(x2)<0,
f(x1)<f(x2
∴f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù);
(Ⅲ)∵f(x)=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$,
設(shè)t=ax,則t>0,y=1-$\frac{2}{t+1}$的值域?yàn)椋?1,1),
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋?1,1).

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)奇偶性的定義和判斷方法,求函數(shù)值域的方法和證明函數(shù)單調(diào)性的方法,解題時要準(zhǔn)確把握基本概念,熟練的運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸思想解題

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