Question

20．已知不等式9x²-log_ax＜0，當$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$時恒成立，則實數a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 不等式9x²-log_ax＜0，當$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$時恒成立?log_ax＞9x²，當$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$時恒成立，即[log_ax]_min＞[9x²]_max，利用對數函數與二次函數的單調性可得log_a$\frac{1}{3}$≥9×${（\frac{1}{3}）}^{2}$，從而可得實數a的取值范圍．

解答 解：不等式9x²-log_ax＜0，當$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$時恒成立?log_ax＞9x²，當$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$時恒成立，
∴[log_ax]_min＞[9x²]_max，
又0＜a＜1，
∴y=log_ax在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上單調遞減，又y=9x²在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上單調遞增，
∴l(xiāng)og_a$\frac{1}{3}$≥9×${（\frac{1}{3}）}^{2}$=1，
∴$\frac{1}{3}$≤a＜1，
故答案為：[$\frac{1}{3}$，1）．

點評 本題考查函數恒成立問題，依題意，得到當$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$時，[log_ax]_min＞[9x²]_max是關鍵，考查對數函數與二次函數的單調性的綜合運用，漏掉等號是易錯點，屬于難題．