Question

【題目】杭州西溪國(guó)家濕地公園是以水為主題的公園，以濕地良好生態(tài)環(huán)境和多樣化濕地景觀資源為基礎(chǔ)的生態(tài)型主題公園.欲在該公園內(nèi)搭建一個(gè)平面凸四邊形的休閑觀光及科普宣教的平臺(tái)，如圖所示，其中百米，百米，為正三角形.建成后將作為人們旅游觀光休閑娛樂的區(qū)域，將作為科普宣教濕地功能利用弘揚(yáng)濕地文化的區(qū)域.

（1）當(dāng)時(shí)，求旅游觀光休閑娛樂的區(qū)域的面積；

（2）求旅游觀光休閑娛樂的區(qū)域的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）通過余弦定理可求得,進(jìn)而得到,,,根據(jù)直角三角形的面積公式即可求得結(jié)果.

（2）方法一:設(shè),由余弦定理可求得,設(shè)，進(jìn)而由余弦定理可得,則可求的值, 進(jìn)而可得的值,根據(jù)面積公式化簡(jiǎn)可得,令，則面積可化簡(jiǎn)為,令,平方后化簡(jiǎn)為由的存在性可知即可求得,進(jìn)而得出結(jié)果.

方法二: 不妨設(shè)，,由正余弦定理可得,

,

利用面積公式及輔助角公式化簡(jiǎn)根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果.

方法三:設(shè)，,由余弦定理可知

,為正三角形及由正弦定理得可得，由代入化簡(jiǎn)可得根據(jù)面積公式及輔助角公式化簡(jiǎn)可得,由三角函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果.

法一：（1）∵，∴

∴，∴，

∵為正，∴，

∴，∴

（2）設(shè)，∴

∴，∴

設(shè)，∴，，

∴

∴

∴

令，∴上式

令，∴

∴，

∴

法二：（1），∴

又，∴，∴

（2）不妨設(shè)，

于是①

②

③

∴

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，∴面積最大為

法三：（1）由中，，，

則由余弦定理c，∴

又為正三角形，∴

∴

（2）在中，設(shè)∠，

由余弦定理得

∵為正三角形，∴

由正弦定理得，即

∴，∴(*)

∵

又由，∴，∴為銳角，∴(**)

∴

(由*和**)

∴當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值.

∴面積最大值為.