Question

已知曲線C₁上任意一點(diǎn)M到直線l：x=4的距離是它到點(diǎn)F（1，0）距離的2倍；曲線C₂是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)的拋物線．
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）過(guò)F作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，其中l(wèi)₁與C₁相交于點(diǎn)A，B，l₂與C₂相交于點(diǎn)C，D，求四邊形ACBD面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），由已知條件推導(dǎo)出2

(x-1)2+y2

=|x-4|，由此能求出C₁的方程；由曲線C₂是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，能求出C₂的方程．
（Ⅱ）由題意設(shè)l₂的方程為x=ky+1，代入y²=4x，得y²-4ky-4=0，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），從而求出|CD|=4（k²+1）．由l₁⊥l₂，設(shè)l₁的方程為y=-k（x-1），由此求出|AB|=

12(k2+1)

4k2+3

．由此能求出四邊形ABCD面積的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），
∵曲線C₁上任意一點(diǎn)M到直線l：x=4的距離是它到點(diǎn)F（1，0）距離的2倍，
∴2

(x-1)2+y2

=|x-4|，
化簡(jiǎn)得：

x2

4

+

y2

3

=1．
∴C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
∵曲線C₂是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，
∴C₂的方程為y²=4x．（4分）
（Ⅱ）由題意設(shè)l₂的方程為x=ky+1，代入y²=4x，得y²-4ky-4=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=4k，
∴|CD|=|CF|+|DF|=x₁=1+x₂+1
=k（y₁+y₂）+4=4（k²+1）．（7分）
∵l₁⊥l₂，∴設(shè)l₁的方程為y=-k（x-1），
代入

x2

4

+

y2

3

=1得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），則x₃+x₄=

8k2

4k2+3

，
∴|AB|=|AF|+|BF|=

1

2

(4-x3)+

1

2

(4-x4)=4-

1

2

（x₃+x₄）=

12(k2+1)

4k2+3

.10分
∴四邊形ACBD的面積為：
S=

1

2

|AB|•|CD|=

24(k2+1)

4k2+3

=

24t2

4t-1

=

3

2

(4t-1+

1

4t-1

+2)=

3

2

(s+

1

s

+2)，（其中t=k²+1≥1，s=4t-1≥3）．
設(shè)f（s）=s+

1

s

（s≥3），
則f′(s)=1-

1

s2

=

s2-1

s2

＞0，
∴f（s）在[3，+∞）單調(diào)遞增，
∴S=

3

2

（s+

1

s

+2）≥

3

2

（3+

1

3

+2）=8，
當(dāng)且僅當(dāng)s=3，即k=0時(shí)等號(hào)成立．
∴四邊形ABCD面積的取值范圍為[8，+∞）．（13分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查四邊形面積的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．