Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)直線交拋物線于A，B兩點(diǎn).

（1）若，證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；

（2）點(diǎn)M為的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作與y軸垂直的直線交拋物線于C點(diǎn)；點(diǎn)N為的中點(diǎn)，過點(diǎn)N作與y軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)P.設(shè)△的面積，△的面積為.

（i）若過定點(diǎn)，求使取最小值時(shí)，直線的方程；

（ii）求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；定點(diǎn)（2）（i）（ii）

【解析】

（1）設(shè)直線的方程，并代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理和可解決；

（2）（i）得到、的坐標(biāo)，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)二次函數(shù)可求得最小值；（ii）求出，求出代入即可得到結(jié)果.

（1）證明：依題意可設(shè)直線的方程為，

代入消去x得：，

，即，

設(shè)，，則，，

因?yàn)?/span>，所以，

又，，所以，故，（已舍去）

所以，得，

因此直線的方程為，該直線過定點(diǎn).

（2）（i）因?yàn)?/span>過定點(diǎn)，所以由（1）得，即，

恒成立，，，

由題知得，，

所以，

所以，

因?yàn)?/span>，且時(shí)等號(hào)成立，

所以，

當(dāng)取到最小值時(shí)，，，

直線的方程為，即.

（ii）依題知可得，，

所以，

由（2）（i）可知（此處可以理解為A，B兩點(diǎn)的縱向高度差）

同理可得，

所以.