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【題目】已知函數．

（1），求函數的單調區(qū)間：

（2）對于任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求導后，按照、、與分類，分別解出不等式，即可得解；

（2）轉化條件得對于任意，不等式恒成立，設，則，設，求導后可得在上單調遞增，進而可得，使得，即，則，設，求導后可得在上單調遞增，即可證，代入求出后，即可得解.

（1）由題意，

則，

（i）當時，的解集為，則的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為；

（ii）當時，，則的單調增區(qū)間為，無單調減區(qū)間；

（iii）當時，的解集為，則的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為；

（iiii）當時，的解集為，則的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.

（2）由已知，問題等價于對于任意，不等式恒成立，

設，則，

設，則，

在上，，單調遞增，

又，，所以，

所以，使得，即，

在上，，單調遞減；

在上，，單調遞增；

所以，

又有，

設，則有和，

所以在上，單調遞增，所以，

所以，

故實數的取值范圍為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點，且離心率。

（1）求橢圓方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。

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【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（t為參數），曲線C2的參數方程為（α為參數），以坐標原點為極點.x軸正半軸為極軸建立極坐標系.

（Ⅰ）求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程；

（Ⅱ）射線與曲線C2交于O，P兩點，射線與曲線C1交于點Q，若△OPQ的面積為1，求|OP|的值.

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【題目】已知拋物線，與圓有且只有兩個公共點．

（1）求拋物線的方程；

（2）經過的動直線與拋物線交于兩點，試問在直線上是否存在定點，使得直線的斜率之和為直線斜率的倍？若存在，求出定點；若不存在，請說明理由．

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【題目】在正方體中，點E是棱的中點，點F是線段上的一個動點．有以下三個命題：

①異面直線與所成的角是定值；

②三棱錐的體積是定值；

③直線與平面所成的角是定值．

其中真命題的個數是( )

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，動直線交拋物線于A，B兩點.

（1）若，證明直線過定點，并求出該定點；

（2）點M為的中點，過點M作與y軸垂直的直線交拋物線于C點；點N為的中點，過點N作與y軸垂直的直線交拋物線于點P.設△的面積，△的面積為.

（i）若過定點，求使取最小值時，直線的方程；

（ii）求的值.

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【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝BC＝2，D，E分別為AA1，B1C的中點.

（1）證明：DE⊥平面BCC1B1；

（2）若直線BE與平面AA1B1B所成角為30°，求二面角C﹣BD﹣E的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線C的參數方程為（為參數，）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的圾坐標方，且直線l與曲線C相交于A，B兩點.

（1）求曲線C的普通方程和l的直角坐標方程；

（2）若，點滿足，求此時r的值.

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【題目】已知，設函數，．

（1）試討論的單調性；

（2）設函數，是否存在實數，使得存在兩個極值點，，且滿足？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

注：.

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