Question

【題目】如圖，設(shè)斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓C： + =1交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB．

（Ⅰ）求直線l在y軸上的截距（用k表示）；
（Ⅱ）求△AOB面積取最大值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)l：y=kx+t，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ∵斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓C： + =1交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，∴ ，
∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，∴（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，（*）
聯(lián)立 ，消去y，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，
則 ，x1x2= 三，且△＞0，代入（*）
從而得（1+k2）（3t2﹣9）﹣6k2t2+t2（1+3k2）=0，∴3t2﹣9﹣9k2+t2=0，
∴ ，∴t=± ，
∴直線l在y軸上的截距為 或﹣ ．
（Ⅱ）設(shè)△AOB的面積為S，O到直線l的距離為d，則S= |AB|d，
而由（1）知d= ，且|AB|=
= = = ，
∴ ≤ ，
當(dāng) 時(shí)， ，解得k= ，∴t= ，
∴所求直線方程為y= 或y= ．
【解析】（Ⅰ）設(shè)l：y=kx+t，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由OA⊥OB，得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，聯(lián)立 ，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式，結(jié)合已知條件能求出直線l在y軸上的截距．（Ⅱ）設(shè)△AOB的面積為S，O到直線l的距離為d，則S= |AB|d，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式能求出△AOB面積取最大值時(shí)直線l的方程．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．