Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D= ，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點．

（1）求證：A1O∥平面AB1C；
（2）求銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖（1），

連接CO、A1O、AC、AB1，

則四邊形ABCO為正方形，所以OC=AB=A1B1，

所以，四邊形A1B1CO為平行四邊形，

所以A1O∥B1C，

又A1O平面AB1C，B1C平面AB1C

所以A1O∥平面AB1C

（2）解：因為D1A=D1D，O為AD中點，所以D1O⊥AD

又側面A1ADD1⊥底面ABCD，

所以D1O⊥底面ABCD，

以O為原點，OC、OD、OD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖（2）所示的坐標系，

則C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0）．所以 ，

設 為平面C1CDD1的一個法向量，

由 ，得 ，

令z=1，則y=1，x=1，∴ ．

又設 為平面AC1D1的一個法向量，

由 ，得 ，

令z1=1，則y1=﹣1，x1=﹣1，∴ ，

則 ，

故所求銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值為

【解析】（1）欲證A1O∥平面AB1C，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A1O與平面AB1C內一直線平行，連接CO、A1O、AC、AB1 ， 利用平行四邊形可證A1O∥B1C，又A1O平面AB1C，B1C平面AB1C，滿足定理所需條件；（2）根據(jù)面面垂直的性質可知D1O⊥底面ABCD，以O為原點，OC、OD、OD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系，求出平面C1CDD1的一個法向量 ，以及平面AC1D1的一個法向量 ，然后求出兩個法向量夾角的余弦值即可求出銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．