Question

【題目】若f（x）為二次函數(shù)，﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的兩根，f（0）=1
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在區(qū)間[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），

由f（0）=1可得c=1，

故方程f（x）﹣x﹣4=0可化為ax2+（b﹣1）x﹣3=0，

∵﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的兩根，

∴由韋達定理可得﹣1+3=﹣ ，﹣1×3= ，

解得a=1，b=﹣1，故f（x）的解析式為f（x）=x2﹣x+1

（2）解：∵在區(qū)間[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，

∴m＜x2﹣3x+1在區(qū)間[﹣1，1]上有解，

故只需m小于函數(shù)g（x）=x2﹣3x+1在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值，

由二次函數(shù)可知當x=﹣1時，函數(shù)g（x）取最大值5，

∴實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，5）

【解析】（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），由題意和韋達定理待定系數(shù)可得；（2）問題轉(zhuǎn)化為m＜x2﹣3x+1在區(qū)間[﹣1，1]上有解，只需m小于函數(shù)g（x）=x2﹣3x+1在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．