Question

設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，若存在c∈（a，b），使得f（x）在[a，c]上單調(diào)遞增，在[c，b]上單調(diào)遞減，則稱(chēng)f（x）為[a，b]上單峰函數(shù)，c為峰點(diǎn)．
（1）已知f（x）=

1

4

（x²-2x）（x²-2x+2t²）為[a，b]上的單峰函數(shù)，求t的取值范圍及b-a的最大值；
（2）設(shè)f_n（x）=2014+px-（x+

x2

2

+

x3

3

+…+

xn+1

n+1

+

p3xn+4

n+4

），其中n∈N^*，p＞2．
①證明：對(duì)任意n∈N^*，f_n（x）為[0，1-

1

p

]上的單峰函數(shù)；
②記函數(shù)f_n（x）在[0，1-

1

p

]上的峰點(diǎn)為c_n，n∈N^*，證明：c_n＜c_n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x）為[a，b]上的單峰函數(shù)，建立條件關(guān)系即可求t的取值范圍及b-a的最大值；
（2）①根據(jù)單峰函數(shù)的定義進(jìn)行證明，②根據(jù)峰點(diǎn)為c_n的性質(zhì)，建立不等式關(guān)系即可證明不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

4

（x²-2x）（x²-2x+2t²），
∴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x-1）（x²-2x+t²），
方程x²-2x+t²=0的判別式△=4（1-t）（1+t），
當(dāng)△≥0時(shí)，即t≥1或t≤-1時(shí)，x²-2x+t²≥0恒成立，此時(shí)當(dāng)x≤1時(shí)，f′（x）≤0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）不是單峰函數(shù)，
當(dāng)△＜0，即-1＜t＜1，方程x²-2x+t²=0的兩根x₁=1-

1-t2

，x₂=1+

1-t2

，則（x₁＜1＜x₂）
則f′（x）=（x-x₁）（x-1）（x-x₂），
列表如下，

x	（-∞，x1）	（x1，1）	（1，x2）	（x2，+∞）
f′（x）	-	+	-	+
f（x）	遞減	遞增	遞減	遞增

∴f（x）在[x₁，x₂]上單峰函數(shù)，1為峰點(diǎn)，
b-a=x₂-x₁=2

1-t2

≤2，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)取等號(hào)，
綜上若f（x）為[a，b]上的單峰函數(shù)，t的取值范圍（-1，1]，b-a的最大值2；
（2）①∵f_n（x）=2014+px-（x+

x2

2

+

x3

3

+…+

xn+1

n+1

+

p3xn+4

n+4

），
∴f_n′（x）=p-（1+x²+…+xⁿ+p³xⁿ⁺³），
設(shè)g_n（x）=f_n′（x）=p-（1+x²+…+xⁿ+p³xⁿ⁺³），
則g_n′（x）=-（1+2x+3x²+…+nx^n-1+（n+3）p³xⁿ⁺²），
∵n∈N^*，p＞2，∴x∈[0，1-

1

p

]時(shí)，x≥0，g_n′（x）≤-1＜0，
∴g_n（x）=f_n′（x）在∈[0，1-

1

p

]上單調(diào)遞減，
又f_n′（0）=p-1＞0，f_n′（1-

1

p

）=p-[（1+（1-

1

p

）²+…+（1-

1

p

）ⁿ+p³（1-

1

p

）ⁿ⁺³]=p-[

1-(1- 1 p )n+1

1-(1- 1 p )

+p3(1-pn+3)]=p²（2-p）（1-

1

p

）ⁿ⁺¹＜0，
∴函數(shù)f_n′（x）在∈[0，1-

1

p

]內(nèi)存在零點(diǎn)，記為c_n．
∴x∈（c_n，1-

1

p

）時(shí)，f_n′（x）＜0，f_n（x）在[c_n，1-

1

p

]上單調(diào)遞減，
∴對(duì)任意n∈N^*，f_n（x）為[0，1-

1

p

]上的單峰函數(shù)；
②∵f_n′（x）=p-（1+x²+…+xⁿ+p³xⁿ⁺³），
∴f_n+1′（x）=p-（1+x²+…+xⁿ⁺¹+p³xⁿ⁺⁴）=p-1+x（1+x²+…+xⁿ+p³xⁿ⁺³）=p-1-x[p-f_n′（x）]=xf_n′（x）-px+p-1，
故f_n+1′（c_n）=c_nf′（c_n）-pc_n+p-1，而c_n為f_n′（x）的峰點(diǎn)，
∴f_n′（c_n）=0，∴f_n+1′（c_n）=-pc_n+p-1，
又c_n∈（0，1-

1

p

），∴f_n+1′（c_n）＞f_n+1′（c_n+1），
由①知f_n+1′（x）在[c_n，1-

1

p

]上單調(diào)遞減，∴c_n＜c_n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用單峰函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)，難度非常大．