【題目】數(shù)列{an}中,定義:dn=an+2+an﹣2an+1(n≥1),a1=1.
(1)若dn=an , a2=2,求an;
(2)若a2=﹣2,dn≥1,求證此數(shù)列滿足an≥﹣5(n∈N*);
(3)若|dn|=1,a2=1且數(shù)列{an}的周期為4,即an+4=an(n≥1),寫出所有符合條件的{dn}.

【答案】
(1)解:∵an=dn=an+2+an﹣2an+1(n≥1),

∴an+2﹣2an+1=0(n≥1);

又∵a1=1,a2=2,

∴數(shù)列是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,

故數(shù)列{an}的通項公式為 ;


(2)解:證明:∵dn≥1,

∴an+2+an﹣2an+1≥1,

令cn=an+1﹣an,則

cn+1﹣cn≥1,

疊加得,cn≥n﹣4;

即an+1﹣an≥n﹣4,

疊加可得, ≥﹣5.


(3)解:由于|dn|=1,a1=1,a2=1,

若d1=1,則可得a3=2,

若d1=﹣1可得a3=0;

同理,若d2=1可得a4=4或a4=2,

若d2=﹣1可得a4=0或a4=﹣2;

具體如下表所示,

1,1, ;

所以{an}可以為1,1,2,2;1,1,2,2;1,1,2,2;…

或1,1,0,0;1,1,0,0;1,1,0,0;…

此時相應(yīng)的{dn}為1,﹣1,﹣1,1,1,﹣1,﹣1,1,…

或﹣1,1,1,﹣1,﹣1,1,1,﹣1,….


【解析】(1)化簡可得an+2﹣2an+1=0(n≥1);從而檢驗可得數(shù)列是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,從而求得;(2)由dn≥1,構(gòu)造cn=an+1﹣an , 從而可得cn+1﹣cn≥1,從而可得an+1﹣an≥n﹣4,從而可得 ≥﹣5.(Ⅲ)由|dn|=1,a1=1,a2=1討論求a3 , a4 , a5 , 從而歸納可得.
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識點,需要掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題.

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A.
B.
C.
D.

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(1)求證:AB⊥平面AEC′;
(2)當(dāng)四棱錐C′﹣ABFE體積取最大值時,
①若G為BC′中點,求異面直線GF與AC′所成角;
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)證明:;

)若,求.

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