Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且第二項、第五項、第十四項分別是一個等比數(shù)列{c_n}的第二項、第三項、第四項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=

1

n(an+3)

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）對于（2）中的S_n是否存在實數(shù)t，使得對任意的n∈N^*均有：8S_n≤t（a_n+17）成立？若存在，求出t的范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)該數(shù)列的公差為d，結(jié)合題意可得（1+4d）²=（1+d）•（1+13d），解可得d，由等差數(shù)列通項公式可得答案；
（2）根據(jù)題意，對b_n變形可得bn=

1

n(an+3)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），由拆項相消法可得S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

（1-

1

n+1

），即可得答案；
（3）由題意得即：t≥

2n

(n+1)(n+8)

恒成立，求出

2n

(n+1)(n+8)

的最大值，即可得答案．

解答：解：（1）設(shè)該數(shù)列的公差為d，
由其第二項、第五項、第十四項分別是一個等比數(shù)列{c_n}的第二項、第三項、第四項，
可得1+d，1+4d，1+13d成等比數(shù)列，所以（1+4d）²=（1+d）•（1+13d）
解之得：d=2，
則a_n=2n-1；
（2）bn=

1

n(an+3)

=

1

n(2n+2)

=

1

2

×

1

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）；
S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

（1-

1

n+1

）；
則Sn=

1

2

(1-

1

n+1

)；
（3）由題意得：任意的n∈N^*，4(1-

1

n+1

)≤t(2n+16)恒成立，
即：t≥

2n

(n+1)(n+8)

恒成立，
可求得：當(dāng)n=3時，

2n

(n+1)(n+8)

取得最大值

3

22

，則t≥

3

22

．

點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，有一定的難度，解數(shù)列有關(guān)的問題時，注意n的取值范圍．