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19.已知A、B為橢圓x2a2+y2b2=1ab0和雙曲線x2a2y2b2=1的公共頂點(diǎn),P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn),且AP+BP=λ(AQ+BQ)(λ∈R,|λ|>1).設(shè)AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4
(1)求證:點(diǎn)P,Q,O三點(diǎn)共線;
(2)求k1+k2+k3+k4的值;
(3)設(shè)F1、F2分別為雙曲線和橢圓的右焦點(diǎn),若QF1∥PF2,求k12+k22+k32+k42的值.

分析 (1)由AP+BP=λ(AQ+BQ)(λ∈R,|λ|>1).得到OPOQ,由此能證明點(diǎn)P,Q,O三點(diǎn)共線.
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),求出k1+k2=22a2x1y1,k3+k4=22a2x2y2,由OPOQ,能出k1+k2+k3+k4的值.
(3)由OPOQ,推導(dǎo)出\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}+1}{2}{a}^{2}}\\{{{y}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}-1}{2}^{2}}\end{array}\right.,再由PF1∥QF2,得到(k1+k22=4,(k3+k42=4,由此能求出k12+k22+k32+k42的值.

解答 證明:(1)∵A、B為橢圓\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)和雙曲線\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1的公共頂點(diǎn),
P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn),且\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}=λ(\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{BQ})(λ∈R,|λ|>1).
\overrightarrow{OP}\overrightarrow{OQ},
∴點(diǎn)P,Q,O三點(diǎn)共線.
解:(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
{k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}=\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}-{a}^{2}}=\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{\frac{{a}^{2}}{^{2}}•{{y}_{1}}^{2}}=\frac{2^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}},
同理,得:{k}_{3}+{k}_{4}=-\frac{2^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}},
\overrightarrow{OP}\overrightarrow{OQ},∴x1=λx2,y1=λy2,
\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}=\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}},
∴k1+k2+k3+k4=\frac{2^{2}}{{a}^{2}}\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}-\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}})=0.
(3)∵\overrightarrow{OP}\overrightarrow{OQ},∴\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{1}{λ}{x}_{1}}\\{{y}_{2}=\frac{1}{λ}{y}_{1}}\end{array}\right.
\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1,
\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}2,又\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1,
\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}+1}{2}{a}^{2}}\\{{{y}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}-1}{2}^{2}}\end{array}\right.,
又∵PF1∥QF2,∴|OF1|=λ|OF2|,
∴λ2=\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}-^{2}}
\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}=\frac{{λ}^{2}+1}{{λ}^{2}-1}\frac{{a}^{2}}{^{2}}=\frac{{a}^{4}}{^{4}},
∴(k1+k22=4•\frac{^{4}}{{a}^{4}}\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}=4•\frac{^{4}}{{a}^{4}}\frac{{a}^{4}}{^{4}}=4,
同理(k3+k42=4,
k1•k2=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}=\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{a}^{2}},且\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}=1,
∴x12-a2=\frac{{a}^{2}}{^{2}}•y12,
∴k1k2=\frac{^{2}}{{a}^{2}}同理k3k4=-\frac{^{2}}{{a}^{2}},
∴k12+k22+k32+k42=(k1+k22+(k3+k42-2(k1•k2+k3•k4)=4+4-0=8.

點(diǎn)評 本題考查圓錐曲線的綜合,著重考查整體代換與方程思想,培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題,解決問題的能力,屬于難題.

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