Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別是PC，CD的中點．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面BEF；
（Ⅱ）設PA=k•AB，且二面角E-BD-C為60°，求k的值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件得ABFD是矩形，BF=CD，由三垂線定理，得PD⊥CD，由此能證明CD⊥平面BEF．
（Ⅱ）連結(jié)AC，交BF于H，則H是AC中點，連結(jié)EH，作HM⊥BD于M，連結(jié)EM，由已知條件得∠EMH為二面角E-BD-F的平面角，由此能求出k．

解答： （Ⅰ）證明：∵DF∥AB，DF=AB，∠DAB=90°，
∴ABFD是矩形，∴BF=CD，
∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，
∴由三垂線定理，得PD⊥CD，
∵E是PC中點，F(xiàn)是CD中點，∴EF∥PD，
∴EF⊥CD，∴CD⊥平面BEF．
（Ⅱ）解：連結(jié)AC，交BF于H，則H是AC中點，連結(jié)EH，
由E是PC中點，得EH∥PA，PA⊥平面ABCD，
得EH⊥平面ABCD，且EH=

1

2

PA=

k

2

，
作HM⊥BD于M，連結(jié)EM，由三垂直線定理得EM⊥BD，
∴∠EMH為二面角E-BD-F的平面角，∴∠EMH=60°，
∵Rt△HBM∽Rt△DBF，
∴

HM

DF

=

HB

BD

，∴

HM

1

=

1

5

，解得HM=

1

5

，
在Rt△EHM中，

EH

HM

=tan60°，
∴

5 k

2

=

3

，解得k=

2 15

5

．

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．