Question

正四面體ABCD（六條棱長(zhǎng)都相等）的棱長(zhǎng)為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是（　�。�

• A．[

  1

  2

  ，1]
• B．[

  2

  4

  ，

  1

  2

  ]
• C．[

  3

  4

  ，1]
• D．（0，1）

Answer 1

分析：首先想象一下，當(dāng)正四面體繞著與平面平行的一條邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，不管怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，投影的三角形的一個(gè)邊始終是AB的投影，長(zhǎng)度是1，而發(fā)生變化的是投影的高，體會(huì)高的變化，得到結(jié)果．，投影面積最大應(yīng)是線段AB相對(duì)的側(cè)棱與投影面平行時(shí)取到，投影面的最小值應(yīng)在正四面體的一面與投影面垂直時(shí)取到．

解答：解：由題意當(dāng)線段AB相對(duì)的側(cè)棱與投影面平行時(shí)投影最大，此時(shí)投影是關(guān)于線段AB對(duì)稱的兩個(gè)等腰三角形，
由于正四面體的棱長(zhǎng)都是1，故投影面積為

1

2

×1×1=

1

2

當(dāng)正四面體的與AB平行的棱與投影面垂直時(shí)，此時(shí)投影面面積最小，
此時(shí)投影面是一個(gè)三角形，其底面邊長(zhǎng)為線段AB的投影，長(zhǎng)度為1，
此三角形的高是AB，CD兩線之間的距離，
取CD的中點(diǎn)為M，連接MA，MB可解得MA=MB=

3

2

，
再取AB中點(diǎn)N，連接MN，此線段長(zhǎng)度即為AB，CD兩線之間的距離，可解得MN=

2

2

，
此時(shí)投影面的面積是

1

2

×

2

2

×1=

2

4

，
故投影面的取值范圍是[

2

4

，

1

2

]
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查平行投影及平行投影作圖法，本題是一個(gè)計(jì)算投影面積的題目，注意解題過(guò)程中的投影圖的變化情況，本題是一個(gè)中檔題．