Question

（本小題滿分12分）拋物線的焦點為F，在拋物線上，且存在實數，使，
（Ⅰ）求直線AB的方程；
（Ⅱ）求△AOB的外接圓的方程。

Answer 1

（Ⅰ）；（2）．

試題分析：（1）先求出拋物線的準線方程，根據 向量關系式
可得到A，B，F三點共線，再由拋物線的定義可表示出| AB|，再設直線AB方程后與拋物線方程進行聯立消去y得到關于x的方程，進而可得到兩根之和與兩根之積，代入到| AB|的表達式中可求出最后k的值，進而得到直線AB的方程．
（2）由（1）中求得的直線方程與拋物線聯立可求出A，B的坐標，然后設圓的一般式方程，用待定系數法求出D，E，F的值，得到答案．
解：（Ⅰ）拋物線的準線方程為．
∵，∴A，B，F三點共線．由拋物線的定義，得||=…1分
設直線AB：，而
由得．
∴||== ．∴．
從而，故直線AB的方程為，即
（2）由 求得A（4，4），B（，－1）
設△AOB的外接圓方程為，則
解得
故△AOB的外接圓的方程為．
點評：解決該試題的關鍵是能根據向量的工具性得到D,F,E三點共線，然后結合根與系數的關系得到參數的值。