如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P(2,0)且斜率為k的直線L交拋物線y=2x于M(x,y),N(x,y)兩點(diǎn). ⑴寫出直線L的方程；⑵求xx與yy的值；⑶求證：OM⊥ON

 

【答案】

⑴直線L方程為y=k(x-2)

⑵xx=4,yy=-4

（3）根據(jù)已知中直線的方程意義拋物線的方程聯(lián)立方程組，結(jié)合斜率公式來表示求證。

【解析】

試題分析：解:⑴

（Ⅰ）解：直線l過點(diǎn)P（2，0）且斜率為k，故可直接寫出直線l的方程為y=k（x-2） （k≠0）①

（Ⅱ）解：由①及y2=2x消去y代入可得k2x2-2（k2+1）x+4k2=0．②則可以分析得：點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)x1與x2是②的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得x1x2由韋達(dá)定理得x1x2= =4.又由y12=2x1，y22=2x2得到（y1y2）2=4x1x2=4×4=16，又注意到y(tǒng)1y2＜0，所以y1y2=-4．（Ⅲ）證明：設(shè)OM，ON的斜率分別為k1，k2，則k=,k=.相乘得k k==-1OM⊥ON所以證得：OM⊥ON．

考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系

點(diǎn)評：主要是考查了拋物線的方程以及性質(zhì)和直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在y軸上截距為2且斜率為k（k＜0）的直線l與拋物線y2=2x交于M、N兩點(diǎn)
（1）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）若
OM
•
ON
=0，求直線l的方程；
（3）若點(diǎn)M、N將拋物線分成三段，在含有坐標(biāo)原點(diǎn)的那一段上求一點(diǎn)P，使得△PMN的面積最大．

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如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b，且交拋物線y2＝2px(p＞0)于M(x1，y1)、N(x2，y2)兩點(diǎn)．

(1)寫出直線l的截距式方程；

(2)證明：；

(3)當(dāng)a＝2p時(shí)，求∠MON的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在y軸上截距為2且斜率為k（k＜0）的直線l與拋物線y2=2x交于M、N兩點(diǎn)
（1）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）若數(shù)學(xué)公式•數(shù)學(xué)公式=0，求直線l的方程；
（3）若點(diǎn)M、N將拋物線分成三段，在含有坐標(biāo)原點(diǎn)的那一段上求一點(diǎn)P，使得△PMN的面積最大．

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