分析 (Ⅰ)由橢圓的右焦點是拋物線C2:y2=4x的焦點,點P為C1與C2在第一象限的交點,且|PF2|=53,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓方程.
(Ⅱ)設(shè)MN中點為D(x0,y0),由題意知TD⊥MN,設(shè)直線MN的方程為x=my+1,聯(lián)立{x=my+1x24+y23=1,得(3m2+4)y2+6my-9=0,由根的判斷式、韋達定理、直線垂直,結(jié)合已知條件,能求出t的取值.
解答 解:(Ⅰ)拋物線y2=4x的焦點為(1,0),|PF2|=xp+1=53,∴xp=23,
∴yp=23√6,∴P(23,23√6),
又F2(1,0),∴F1(-1,0),
∴|PF1|+|PF2|=73+53=4,∴a=2,
又∵c=1,∴b2=a2-c2=3,
∴橢圓方程是:x24+y23=1.
(Ⅱ)設(shè)MN中點為D(x0,y0),∵以TM、TN為鄰邊的四邊形是菱形,
∴TD⊥MN,
設(shè)直線MN的方程為x=my+1,
聯(lián)立{x=my+1x24+y23=1,整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,
∵F2在橢圓內(nèi),∴△>0恒成立,
∴y1+y2=−6m3m2+4,
∴y0=−3m3m2+4,∴x0=my0+1=43m2+4,
∴kTD•kMN=-1,即−3m3m2+443m2+4−t=−m,
整理得t=13m2+4,
∵m2>0,∴3m2+4∈(4,+∞),∴t∈(0,14),
∴t的取值范圍是(0,14).
點評 本題考查橢圓方程的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意橢圓性質(zhì)、直線與橢圓位置關(guān)系、韋達定理的合理運用.
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A. | [{\frac{7π}{12},\frac{13π}{12}}] | B. | [{\frac{π}{12},\frac{7π}{12}}] | C. | [{-\frac{π}{2},\frac{π}{2}}] | D. | [{-\frac{5π}{6},\frac{π}{6}}] |
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A. | 一 | B. | 二 | C. | 三 | D. | 四 |
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x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 3 | 5 | 7 | 10 | 11 |
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