Question

某同學(xué)在研究函數(shù)f（x）=x²e^x的性質(zhì)時，得到如下的結(jié)論：
①f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，0）；
②f（x）無最小值，無最大值
③f（x）的圖象與它在（0，0）處切線有兩個交點
④f（x）的圖象與直線x-y+2012=0有兩個交點
其中正確結(jié)論的序號是________．

Answer 1

①④
分析：①求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＜0，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
②令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得到結(jié)論；
③求得函數(shù)在（0，0）處切線方程，結(jié)合f（x）=x²e^x＞0，可得結(jié)論；
④由②及f（x）=x²e^x＞0，即可得到f（x）的圖象與直線x-y+2012=0有兩個交點．
解答：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=x²e^x=（2x+x²）e^x，
①令f′（x）＜0，可得2x+x²＜0，∴-2＜x＜0，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，0），即①正確；
②令f′（x）＞0，可得2x+x²＞0，∴x＜-2或x＞0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2），（0，+∞），∴函數(shù)在x=-2處取得極大值，且為最大值；在x=0處取得極小值，且為最小值，即②不正確；
③f′（0）=0，f（0）=0，則函數(shù)在（0，0）處切線方程為y=0，∵f（x）=x²e^x＞0，∴f（x）的圖象與它在（0，0）處切線有一個交點（0，0），即③不正確；
④由②及f（x）=x²e^x＞0，即可得到f（x）的圖象與直線x-y+2012=0有兩個交點，即④正確，
綜上可知，正確結(jié)論的序號是①④
故答案為：①④
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．