【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)若, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)當時,討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】(I);(II);(III)詳見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出當的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點,由點斜式方程,即可得到所求切線方程;(Ⅱ)對進行變形,得在恒成立,再構(gòu)造(),再對進行求導(dǎo),即可求出,即可得到實數(shù)的取值范圍;(Ⅲ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出的零點或,分別對兩個零點的大小關(guān)系作為分類討論,即可得到函數(shù)的單調(diào)性.
試題解析:
解:(Ⅰ)當時, ,∴切線的斜率,
又, 在點處的切線方程為,
即.
(Ⅱ)∵對, 恒成立,∴在恒成立,
令(),,
當時, ,當時, ,
∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴,故實數(shù)的取值范圍為.
(Ⅲ).
令,得或,
①當時, 恒成立,∴在上單調(diào)遞增;
②當時, ,
由,得或;由,得.
∴單調(diào)遞增區(qū)間為, ;單調(diào)減區(qū)間為.
③當時, ,
由,得或;由,得.
∴單調(diào)增區(qū)間為, ,單調(diào)減區(qū)間為.
綜上所述:當時, 在上單調(diào)遞增;
當時, 單調(diào)增區(qū)間為, ,單調(diào)減區(qū)間為;
當時, 單調(diào)增區(qū)間為, ,單調(diào)減區(qū)間為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosωx·sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)討論f(x)在區(qū)間[0,]上的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù)f(x)= ,有下列5個結(jié)論: ①任取x1 , x2∈[0,+∞),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2;
②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[4,5]上單調(diào)遞增;
③f(x)=2kf(x+2k)(k∈N+),對一切x∈[0,+∞)恒成立;
④函數(shù)y=f(x)﹣ln(x﹣1)有3個零點;
⑤若關(guān)于x的方程f(x)=m(m<0)有且只有兩個不同實根x1 , x2 , 則x1+x2=3.
則其中所有正確結(jié)論的序號是 . (請寫出全部正確結(jié)論的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),對任意的x∈R都有3f′(x)>f(x)成立,則( )
A.3f(3ln2)>2f(3ln3)
B.3f(3ln2)與2f(3ln3)的大小不確定
C.3f(3ln2)=2f(3ln3)
D.3f(3ln2)<2f(3ln3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,幾何體中, 平面, 是正方形, 為直角梯形, , , 的腰長為的等腰直角三角形.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個說法: ①若向量{ 、 、 }是空間的一個基底,則{ + 、 ﹣ 、 }也是空間的一個基底.
②空間的任意兩個向量都是共面向量.
③若兩條不同直線l,m的方向向量分別是 、 ,則l∥m ∥ .
④若兩個不同平面α,β的法向量分別是 、 ,且 =(1,2,﹣2)、 =(﹣2,﹣4,4),則α∥β.
其中正確的說法的個數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(πx+ )和函數(shù)g(x)=cos(πx+ )在區(qū)間[﹣ , ]上的圖象交于A,B,C三點,則△ABC的面積是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.
(1)求C;
(2)設(shè)cos Acos B=,,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2 ,BC=4 ,PA=2,點M在PD上.
(1)求證:AB⊥PC
(2)若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°,求 的值.
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