Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點在原點，焦點F的坐標(biāo)為（1，0）。
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)M、N是拋物線C的準(zhǔn)線上的兩個動點，且它們的縱坐標(biāo)之積為，直線MO、NO與拋物線的交點分別為點A、B，求證：動直線AB恒過一個定點。

Answer 1

(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，
所以拋物線方程為
（2）直線MO的方程：，與聯(lián)立解得A點坐標(biāo)，B點坐標(biāo)，得出直線AB的方程為：，說明直線AB恒過定點（1,0）。

解析試題分析：(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，
所以拋物線方程為
（2）拋物線C的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，其中，
直線MO的方程：，將與聯(lián)立解得A點坐標(biāo)。
同理可得B點坐標(biāo)，則直線AB的方程為：
整理得，故直線AB恒過定點（1,0）。
考點：本題主要考查直線方程，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系。
點評：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達(dá)定理。本題求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程時，主要運用了拋物線的幾何性質(zhì)。（2）證明直線過定點問題時，巧妙地假設(shè)，并應(yīng)用假設(shè)字母表示點的坐標(biāo)，值得學(xué)習(xí)。