Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=cosx+ax2﹣1，a∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）在 處的切線方程；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[﹣π，π]上的最大值和最小值；
（3）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒有f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0時(shí)，f（x）=cosx﹣1，f′（x）=﹣sinx，

∴f′（ ）=﹣1，f（ ）=﹣1，

故切線方程是：y+1=﹣（x﹣ ），

即x+y+ +1=0

（2）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=cosx+x2﹣1，f（﹣x）=f（x），是偶函數(shù)，

函數(shù)f（x）在[﹣π，π]上的最大值及最小值，

即為f（x）在[0，π]上的最大值及最小值，

此時(shí)f（x）=cosx+x2﹣1，導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x﹣sinx，0≤x≤π，

令g（x）=2x﹣sinx，導(dǎo)數(shù)為2﹣cosx＞0，即g（x）遞增，

即有g(shù)（x）≥g（0）=0，則f′（x）≥0，即f（x）在[0，π]遞增，

x=0時(shí)，取得最小值0，x=π時(shí)，取得最大值π2﹣2，

則有函數(shù)f（x）在[﹣π，π]上的最大值π2﹣2，

最小值為0

（3）解：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒有f（x）≥0，即有cosx+ax2﹣1≥0，

即ax2≥1﹣cosx≥0，顯然a≥0，

x=0時(shí)，顯然成立；由偶函數(shù)的性質(zhì)，只要考慮x＞0的情況．

當(dāng)x＞0時(shí)，a≥ = ，即為2a≥（ ）2，

由x＞0，則 =t＞0，考慮sint﹣t的導(dǎo)數(shù)為cost﹣1≤0，

即sint﹣t遞減，即有sint﹣t＜0，即sint＜t，

則有 ＜1，故（ ）2＜1，

即有2a≥1，解得a≥ ．

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[ ，+∞）．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（ ），f′（ ）的值，代入切線方程整理即可；（2）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在[﹣π，π]上的最大值及最小值，即為f（x）在[0，π]上的最大值及最小值，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)性，即可得到最值；（3）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒有f（x）≥0，即有cosx+ax2﹣1≥0，即ax2≥1﹣cosx≥0，顯然a≥0，運(yùn)用參數(shù)分離和二倍角公式可得2a≥（ ）2 ， 求出右邊函數(shù)的范圍，即可得到a的范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．