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10.已知等差數(shù)列{an}的公差d=2,其前項和為Sn,且等比數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b2=a4,b3=a13
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式和數(shù)列{bn}的前項和Bn
(Ⅱ)記數(shù)列{1Sn}的前項和為Tn,求Tn

分析 (I)由題意可得:an=a1+2(n-1),22=b1b3,a1+62=a1(a1+24),解得a1,可得an.設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,則q=21=a4a1.可得數(shù)列{bn}的前項和Bn
(Ⅱ)由(I)可得:Sn=n2+2n.因此1Sn=1n2+2n=121n1n+2.利用“裂項求和”即可得出.

解答 解:(I)由題意可得:an=a1+2(n-1),22=b1b3,a1+62=a1(a1+24),解得a1=3.
∴an=3+2(n-1)=2n+1.
設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,則q=21=a4a1=93=3.
∴數(shù)列{bn}的前項和Bn=33n131=323n1
(Ⅱ)由(I)可得:Sn=n3+2n+12=n2+2n.
1Sn=1n2+2n=121n1n+2
∴數(shù)列{1Sn}的前項和為Tn=12[113+1214+1315+…+1n11n+1+1n1n+2]
=121+121n+11n+2
=34-2n+32n+1n+2

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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