Question

已知函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)R上的偶函數(shù)，且f（1-x）=f（1+x），當x∈[0，1]時，f（x）=1-x，函數(shù)
g（x）=log₅|x|．
（1）判斷函數(shù)g（x）=log₅|x|的奇偶性； 
（2）證明：對任意x∈R，都有f（x+2）=f（x）；
（3）在同一坐標系中作出f（x）與g（x）的大致圖象并判斷其交點的個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：本題（1）利用函數(shù)的奇偶性定義判斷并證明，得到本題結(jié)論；（2）利用函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性與函數(shù)解析式的關系，可判斷比哦的周期性，也可輔助畫圖觀察，得到本題結(jié)論；（3）先畫出部分函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的草圖，觀察圖象交點，得到本題結(jié)論．

解答： （1）判斷結(jié)論：g（x）為偶函數(shù)．以下證明．
證明：∵g（x）=log₅|x|，
∴x≠0．
∴對于任意的x∈（-∞，0）∪（0，∞），
g（-x）=log₅|-x|）=log₅|x|=g（x），
∴函數(shù)g（x）為偶函數(shù)；
（2）∵函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∵f（1-x）=f（1+x），
∴f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1-（x+1）]=f（-x）=f（x）．
故原命題得證．
（3）∵g（x）=log₅|x|，
∴y=g（x）的圖象過點（1，0），（5，1），關于y軸對稱，
∴如圖可知：f（x）與g（x）大致有8個交點．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，本題難度不大，屬于基礎題．