已知數(shù)列{an}中,a1=1,anan+1=2n(n∈N*
(1)求數(shù)列{an}通項(xiàng)an
(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若3(1-kan)≤Sn•an對任意n∈N*恒成立,求k的最小值..
分析:(1)由a1=1,anan+1=2n,令n=1,求得a2的值,anan+1=2n,得anan-1=2n-1,兩式相比,即得
an+1
an-1
=2,從而求得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,故求數(shù)列{an}通項(xiàng);
(2)分別求得Sn=2
n+3
2
-3,n為奇數(shù);Sn=3(2
n
2
-1),n為偶數(shù);再利用分離參數(shù)法,考查相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,求出相應(yīng)的最值,從而求出參數(shù)的范圍.
解答:解:(1)∵anan+1=2n∴anan-1=2n-1,兩式相比,∴
an+1
an-1
=2,∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列
∴an=2
n-1
2
,n為奇數(shù);an=2
n
2
,n為偶數(shù);
(2)Sn=2
n+3
2
-3,n為奇數(shù);Sn=3(2
n
2
-1),n為偶數(shù);
當(dāng)n為奇數(shù)時,,3(1-kan)≤Sn•an
3(1-kan)≤(2
n+3
2
-3)an
∴k≥
3-(2
n+3
2
-3)an
3an

∴K≥
1
an
-(
1
3
2
n+3
2
-1)=
1
2
n-1
2
-
1
3
2
n+3
2
+1
F(n)=
1
2
n-1
2
-
1
3
2
n+3
2
+1單調(diào)遞減;F(1)=
2
3
最大;K≥
2
3

當(dāng)n為偶數(shù)時,3(1-kan)≤Sn•an
3(1-kan)≤3(2
n
2
-1)an∴k≥
1-(2
n
2
-1)an
an
=
1
2
n
2
-2
n
2
+1
F(n)=
1
2
n
2
-2
n
2
+1單調(diào)遞減,所以n=2時F(2)=-0.5
K≥-0.5
綜合上面可得k
2
3
點(diǎn)評:本題考查恒成立問題的出來方法,體現(xiàn)了分類討論的思想方法,屬中檔題
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且Sn
1
an
的一個等比中項(xiàng)為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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