Question

20．已知P是橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$上一點(diǎn)，F(xiàn)₁和F₂是焦點(diǎn)，若$∠{F_1}P{F_2}={60^0}$，則△PF₁F₂的面積為（　�。�

• A． $5\sqrt{3}$
• B． $4\sqrt{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由橢圓方程求得a，c的值，在焦點(diǎn)三角形中，結(jié)合余弦定理求得|PF₁||PF₂|，再由三角形面積公式求得△PF₁F₂的面積．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$，得a²=5，b²=4，
∴$a=\sqrt{5}$，$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=1$，
在△PF₁F₂中，由余弦定理得：
$4{c}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|cos60°$=$（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-3|P{F}_{1}||P{F}_{2}|$，
∴4=20-3|PF₁||PF₂|，得|PF₁||PF₂|=$\frac{16}{3}$．
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin60°=\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了橢圓定義及余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．