Question

給出下列命題：
（1）設(shè)A，B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|PA|-|PB|=k，則動點P的軌跡為雙曲線的一條分支；
（2）若等比數(shù)列的前n項和S_n=2ⁿ+k，則必有k=-1；
（3）若x＞0，則2^x+2^-x的最小值為2；
（4）雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點；
（5）平面內(nèi)到定點（3，-1）的距離等于到定直線x+2y-1=0的距離的點的軌跡是一條直線．
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A、1 個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：（1）設(shè)A，B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|PA|-|PB|=k，則動點P的軌跡為雙曲線的一條分支或一條射線；
（2）由于等比數(shù)列的前n項和S_n=2ⁿ+k，分別令n=1，2，3，可得a₁=2+k，a₂=2，a₃=4，利用

a

2 2

=a₁a₃，解出即可；
（3）利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出；
（4）雙曲線的半焦距=

25+9

=

34

，橢圓的半焦距=

35-1

=

34

，即可判斷出；
（5）由于定點（3，-1）在定直線x+2y-1=0上，因此平面內(nèi)到定點（3，-1）的距離等于到定直線x+2y-1=0的距離的點的軌跡是一條直線．

解答： 解：（1）設(shè)A，B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|PA|-|PB|=k，則動點P的軌跡為雙曲線的一條分支或一條射線，不正確；
（2）若等比數(shù)列的前n項和S_n=2ⁿ+k，分別令n=1，2，3，則a₁=2+k，a₂=2，a₃=4，∴

a

2 2

=a₁a₃，∴2²=4×（2+k），解得k=-1，因此正確；
（3）由2^x+2^-x≥2

2x•2-x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號，而x＞0，因此最小值不為2，不正確；
（4）雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1可得半焦距=

25+9

=

34

，橢圓

x2

35

+y²=1可得半焦距=

35-1

=

34

，因此由有相同的焦點(±

34

，0)，正確；
（5）由于定點（3，-1）在定直線x+2y-1=0上，因此平面內(nèi)到定點（3，-1）的距離等于到定直線x+2y-1=0的距離的點的軌跡是一條直線，正確．
其中正確命題的個數(shù)是3．
故選：C．

點評：本題考查了圓錐曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．