Question

已知三棱錐S-ABC是三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，O是底面△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，則G=tan∠OSA•tan∠OSB•tan∠OSC的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：過O分別作與SA、SB、SC平行的平面交三棱錐的側(cè)棱，側(cè)面于各點(diǎn)，補(bǔ)形得到以SO為對(duì)角線的長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體體對(duì)角線的平方等于過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的平方和得到cos²α+cos²β+cos²γ=1，移向變形得到sin²α=1-cos²α=cos²β+cos²γ≥2cosβcosγ及另外類似的兩個(gè)式子，作積后整理即可得到答案．

解答： 解：如圖，設(shè)∠OSA=α，∠OSB=β，∠OSC=γ
過O分別作與SA、SB、SC平行的平面交三棱錐的側(cè)棱，側(cè)面于如圖所示的點(diǎn)，
得到的圖形是以SO為對(duì)角線的長(zhǎng)方體，
則cos²α+cos²β+cos²γ=

SD2

SO2

．
所以sin²α=1-cos²α=cos²β+cos²γ≥2cosβcosγ．
同理sin²β≥2cosαcosγ，sin²γ≥2cosαcosβ．
則sin²α•sin²β•sin²γ≥8cos²α•cos²β•cos²γ．
所以G=tan∠OSA•tan∠OSB•tan∠OSC≥2

2

，
故答案為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，解答的關(guān)鍵是想到補(bǔ)形，把零散的角集中到一個(gè)長(zhǎng)方體中解決，此題屬中檔題．