Question

【題目】設(shè)函數(shù)， ，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。

(1)求函數(shù)在區(qū)間上最大值；

(2)設(shè)，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)設(shè)有唯一零點，求實數(shù)的值。

Answer 1

【答案】(1) 10(2) (3)

【解析】試題分析：因為關(guān)于直線對稱，所以，分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以很容易求最值（2）可化為，

化為，令，則, 求最小值即得解(3) 由題意得： ，

所以

故，即為的對稱軸，因為有唯一的零點，所以的零點只能為，因為有唯一的零點，所以的零點只能為，即，解得，對進(jìn)行檢驗，函數(shù)是上的增函數(shù)，

而，所以，函數(shù)只有唯一的零點，滿足條件.

試題解析：

(1)因為關(guān)于直線對稱，所以

故

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，所以當(dāng)時， 。

所以在區(qū)間上的最大值為10

(2) 可化為，

化為，令，則,

因故，記，因為，故，

所以的取值范圍是

(3)由題意得： ，

所以

故，即為的對稱軸，

因為有唯一的零點，所以的零點只能為，

即，解得。

當(dāng)時， ，

令，則，

從而

，

即函數(shù)是上的增函數(shù)，

而，所以，函數(shù)只有唯一的零點，滿足條件。

故實數(shù)的值為。