Question

已知函數(shù),其中是實數(shù).設(shè),為該函數(shù)圖象上的兩點,且.

(Ⅰ)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直,且,證明:;

(Ⅲ)若函數(shù)的圖象在點處的切線重合,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為,   

(Ⅱ)由導數(shù)的幾何意義知,點A處的切線斜率為,點B處的切線斜率為,

故當點處的切線互相垂直時,有,

當x<0時,

因為,所以 ,所以,,

因此,

(當且僅當,即且時等號成立)

所以函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直時有.

(Ⅲ)當或時,,故.

當時,的圖象在點處的切線方程為

 即 .

當時,的圖象在點處的切線方程為

 即 .