Question

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD、CD的中點(diǎn)，計(jì)算：
（1）

EF

•

BA

；
（2）

EF

•

DC

；
（3）EG的長(zhǎng)；
（4）異面直線AG與CE所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,異面直線及其所成的角

專題：平面向量及應(yīng)用,空間角

分析：（1）由數(shù)量積的定義得到

EF

•

BA

=EF×AB×cos60°，計(jì)算即可
（2）由題意作圖，可得

EF

•

DC

數(shù)量積為

1

2

BD

•

CD

，由已知易得其模長(zhǎng)和夾角，由數(shù)量積的定義可得．
（3）由題意，得到△EFG是等腰直角三角形，即可求EG的長(zhǎng)度；
（4）利用向量的數(shù)量積公式，求出向量

AG

與

CE

的夾角的余弦值，即可求異面直線AG與CE所成角的余弦值．

解答： 解：（1）因?yàn)榭臻g四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD、CD的中點(diǎn)，
所以

EF

•

BA

=EF×AB×cos60°=

1

2

BD×AB×cos60°=

1

4

；
（2）

EF

•

DC

=-

1

2

BD

•

CD

=-

1

2

BD×CD×cos60°=-

1

4

；
（3）因?yàn)榭臻g四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD、CD的中點(diǎn)，
所以EF=FG=

1

2

，
作AH⊥BD，則H 為BD的中點(diǎn)，所以CH⊥BD，所以BD⊥平面ACH，所以AC⊥BD，
所以EF⊥FG，
所以EG=

2

EF=

2

2

；
（4）設(shè)向量

AG

=

1

2

（

AC

+

AD

），

CE

=

1

2

（

CA

+

CB

），
因?yàn)锳C=1，＜

AC

，

CB

＞=120°，＜

AD

，

CA

＞=120°，＜

AD

，

CB

＞=90°，
所以cos＜

AG

，

CE

＞=

1 4 ( AC + AD )( CA + CB )

| AG || CE|

=

1 4 (- AC 2+ AC • CB + AD • CA + AD • CB )

| AG || CE |

=

1 4 (-1- 1 2 - 1 2 +0)

3 2 × 3 2

=-

2

3

，
所以異面直線AG與CE所成角的余弦值

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正四面體中的線線關(guān)系以及空間距離和空間角的求法，借助于向量解決空間距離或者空間角是常用方法，題目典型，屬于中檔題．