【題目】已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線．

1求曲線的方程；

2若直線 與曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】

試題（1）由垂直平分線的幾何意義可知，，滿足橢圓的定義。（2）直線與橢圓組方程組，由韋達(dá)定理、弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，可求得 ．由，得及均值不等式可求得面積的最大值．

試題解析：（Ⅰ）∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴．

又，∴．

∴曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，和為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓．

設(shè)曲線的方程為．

∵，∴．

∴曲線的方程為．

（Ⅱ）設(shè)．

聯(lián)立消去，得．

此時(shí)有．

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得

，．

∴ ．

∵原點(diǎn)到直線的距離，

∴ ．

由，得．又，∴據(jù)基本不等式，得

．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號．

∴面積的最大值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】漢字聽寫大會不斷創(chuàng)收視新高，為了避免“書寫危機(jī)”，弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某市大約10萬名市民進(jìn)行了漢字聽寫測試現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機(jī)抽取50名市民的聽寫測試情況，發(fā)現(xiàn)被測試市民正確書寫漢字的個(gè)數(shù)全部在160到184之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：第1組，第2組，，第6組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．

若電視臺記者要從抽取的市民中選1人進(jìn)行采訪，求被采訪人恰好在第2組或第6組的概率；

試估計(jì)該市市民正確書寫漢字的個(gè)數(shù)的平均數(shù)與中位數(shù)；

已知第4組市民中有3名男性，組織方要從第4組中隨機(jī)抽取2名市民組成弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化宣傳隊(duì)，求至少有1名女性市民的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某省高考改革新方案，不分文理科，高考成績實(shí)行“”的構(gòu)成模式，第一個(gè)“3”是語文、數(shù)學(xué)、外語，每門滿分150分，第二個(gè)“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個(gè)科目中自主選擇其中3個(gè)科目參加等級性考試，每門滿分100分，高考錄取成績卷面總分滿分750分.為了調(diào)查學(xué)生對物理、化學(xué)、生物的選考情況，將“某市某一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個(gè)科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體，從學(xué)生群體中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選考物理，化學(xué)，生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：

(I)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率；

(II)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，記表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)將頻率視為概率，現(xiàn)從學(xué)生群體中隨機(jī)抽取4名學(xué)生，記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作，求事件“”的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會，問：

（1）如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？

（2）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有多少種選法？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動.現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績（滿分為100分），分為6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求的值；

（2）記表示事件“從參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生的比賽成績不低于80分”，估計(jì)的概率；

（3）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”’，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”?

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計(jì)

男生

40

女生

50

合計(jì)

100

參考公式及數(shù)據(jù)：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)F，過F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）求的最值；

（2）討論方程的根的個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

平面直角坐標(biāo)系中，射線：，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的方程為；以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）寫出射線的極坐標(biāo)方程以及曲線的普通方程；

（Ⅱ）已知射線與交于，，與交于，，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)b的范圍.

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同步練習(xí)冊答案