Question

已知兩曲線f（x）=cosx，g（x）=sin2x，x∈(0， 

π

2

)．
（1）求兩曲線的交點坐標；
（2）設兩曲線在交點處的切線分別與x軸交于A，B兩點，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=g（x），利用二倍角公式解三角方程即可得交點橫坐標，再代入函數(shù)解析式計算縱坐標即可
（2）利用導數(shù)的幾何意義，先分別計算兩條曲線的在交點處的切線方程，從而得其與x軸交點A，B的坐標，最后計算兩點距離即可

解答：解：（1）由cosx=sin2x，得cosx=2sinxcosx，
∵x∈(0， 

π

2

)．
∴cosx≠0，∴sinx=

1

2

∴x=

π

6

，f（x）=cos

π

6

=

3

2

∴兩曲線的交點坐標為（

π

6

，

3

2

）   
（2）∵f′（x）=-sinx
∴f′（

π

6

）=-

1

2

∴曲線f（x）在交點處的切線方程為y-

3

2

=-

1

2

（x-

π

6

）
∴A（

3

+

π

6

，0）
∵g′（x）=2cos2x
∴g′（

π

6

）=1
∴曲線f（x）在交點處的切線方程為y-

3

2

=x-

π

6

∴B（

π

6

-

3

2

，0）
∴AB=

3

+

π

6

-

π

6

+

3

2

=

3 3

2

點評：本題考察了導數(shù)的幾何意義，求曲線切線方程的方法，能解簡單的三角方程，會利用二倍角公式化簡三角式