Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的后得到曲線；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知，設(shè)直線與曲線交于不同的、兩點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）利用兩角差的正弦公式將直線的極坐標(biāo)方程變形為，由此可將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用伸縮變換可得出曲線的參數(shù)方程，消參后可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）可知點(diǎn)在直線上，且該直線的傾斜角為，可得出直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），然后將直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理可求出.

（1）直線的極坐標(biāo)方程為，化簡(jiǎn)得，

化為直角坐標(biāo)方程為．

將曲線（為參數(shù)）上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的后得到曲線，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

消參后得，

因此，曲線的直角坐標(biāo)方程為；

（2）由題意知在直線上，又直線的傾斜角為，

所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

設(shè)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，

將直線的參數(shù)方程代入中，得．

因?yàn)?/span>在內(nèi)，所以恒成立，由韋達(dá)定理得，

所以．