Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx•cos（x-

π

3

）+asin（2x+

π

3

）（a為常數(shù)）的圖象經過點（

π

6

，

3

）
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）解不等式f（x）≥0．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由已知可得2sin

π

6

cos（-

π

6

）+asin

2π

3

=

3

，從而解得a=1，由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin2x+

3

2

，由周期公式即可求最小正周期T．
（2）由f（x）≥0，知：sin2x≥-

3

2

，由正弦函數(shù)的圖象解得2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

4π

3

（k∈Z），即可得f（x）≥0的解集．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2sinx•cos（x-

π

3

）+asin（2x+

π

3

）（a為常數(shù)）的圖象經過點（

π

6

，

3

），
則有：2sin

π

6

cos（-

π

6

）+asin

2π

3

=

3

，
故解得：a=1，
∴f（x）=2sinx•cos（x-

π

3

）+sin（2x+

π

3

），
=2sinx（cosxcos

π

3

+sinxsin

π

3

）+sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

，
=2sin2xcos

π

3

+（2sin²x+cos2x）sin

π

3

，
=sin2x+sin

π

3

，
=sin2x+

3

2

，
∴最小正周期T=

2π

2

=π…6分
（2）由f（x）≥0，知：sin2x≥-

3

2

，
∴2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

4π

3

（k∈Z），
∴f（x）≥0的解集為：[kπ-

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）…12分

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基本知識的考查．