Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足，a₁=1，2a₃=a₂
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=

1

2

x2+

3

2

x的圖象上，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f(x)=

1

2

x2+

3

2

x的圖象上，可得Sn=

1

2

n2+

3

2

n，利用遞推式可得b_n．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}公比為q，
∵2a₃=a₂，∴q=

1

2

．
∴數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為：an=

1

2n-1

．
（2）∵點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f(x)=

1

2

x2+

3

2

x的圖象上，
∴Sn=

1

2

n2+

3

2

n，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

3

2

n-(

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1))=n+1，
當(dāng)n=1時(shí)也滿足上式，
∴b_n=n+1．
∴anbn=(n+1)

1

2n-1

，
Tn=2+3×

1

2

+4×

1

22

+5×

1

23

+…+(n+1)×

1

2n-1

…..（1）

1

2

Tn=2×

1

2

+3×

1

22

+4×

1

23

+5×

1

24

+…+(n+1)×

1

2n

…．（2）
（1）-（2）得：

1

2

Tn=2+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n-1

-(n+1)×

1

2n

，

1

2

Tn=2+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(n+1)×

1

2n

，
整理得

1

2

Tn=3-(n+3)×

1

2n

．
故：Tn=6-(n+3)×

1

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．