Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB，PC的中點．

（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求EF與平面ABCD所成的角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：取PD中點Q，連AQ、QF，則AE∥QF

∴四邊形AEFQ為平行四邊形

∴EF∥AQ

又∵AQ在平面PAD內(nèi)，EF不在平面PAD內(nèi)

∴EF∥面PAD

（2）解：證明∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A

PA在平面PAD內(nèi)，AD在平面PAD內(nèi)

∴CD⊥面PAD

又∵AQ在平面PAD同

∴CD⊥AQ

∵EF∥AQ

∴CD⊥EF

（3）解：解∵∠PDA=45°

∴△PAD為等腰直角三角形

∴AQ⊥PD

∴∠QAD=45°

即AQ與平面ABCD所成角為45°

又∵AQ∥EF

∴EF與平面ABCD所成角45°．

【解析】（1）取PD中點Q，連AQ、QF，易證EF∥AQ，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可證得EF∥面PAD；（2）欲證CD⊥EF，可先證直線與平面垂直，CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知CD⊥面PAD，從而得到CD⊥EF；（3）先證∠QAD為AQ與平面ABCD所成角，在三角形QAD中求出此角，再根據(jù)AQ∥EF，得到EF與平面ABCD所成的角的大小．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．