Question

6．函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx（ω＞0）（ω＞0）在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]的值域是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，則常數(shù)ω所有可能的值的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，求出其范圍，根據(jù)值域是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，建立關(guān)系，討論常數(shù)ω所有可能的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx，
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{1}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，f（x）∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴-1≤sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）≤0，
則$\frac{T}{4}≤\frac{π}{3}-\frac{π}{6}≤\frac{T}{2}$，
而T=$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}$，
那么：$\frac{π}{4ω}≤\frac{π}{6}≤\frac{π}{2ω}$，即$\frac{3}{2}≤ω≤3$．
sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）=0的結(jié)果必然是$x=\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$．
當(dāng)$x=\frac{π}{6}$時(shí)，解得ω=$\frac{5}{2}$滿足題意．
當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，解得ω=$\frac{11}{4}$滿足題意．
∴常數(shù)ω所有可能的值的個(gè)數(shù)為2．
故選C：

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．