Question

過點P(2，1)作直線l與x軸、y軸正半軸交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

思路一　　因為看到直線l已經(jīng)過定點P(2，－1)，只缺斜率，可先設(shè)出直線l的點斜式方程，且易知k＜0，再用k表示A，B點坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)及不等式知識求解． 　　解法一　　設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)， 　　令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝1－2k． 　　∵l與x軸、y軸的交點均在正半軸上， 　　∴＞0，且1－2k＞0即k＜0， 　　故△AOB的面積S＝··(1－2k)＝－·．這里又有兩種常用方法求S的最小值． 　　(1)利用判別式法 　　把S＝－·整理成關(guān)于k的一元二次方程，得4k2＋2(S－2)k＋1＝0， 　　∵k∈R， 　　∴Δ＝4(S－2)2－4×4×1≥0， 　　解之得S≥4或S≤0(舍去)，當(dāng)S＝4時， 　　解之得k＝－＜0，符合題意． 　　∴當(dāng)k＝－時， 　　即l為x＋2y－4＝0時，△AOB的面積取最小值4． 　　(2)利用均值不等式 　　S＝－(4k＋－4) 　�。�(－4k－＋4) 　　≥(2＋4)＝4， 　　當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－， 　　即k＝－時，S取最小值4． 　　所以，所求方程為y－1＝－(x－2)， 　　即x＋2y－4＝0． 　　思路二　　由于題目中△AOB的兩直角邊長就是直線l的縱、橫截距．因此聯(lián)想到直線方程的截距式． 　　解法二　　設(shè)直線l的方程為＋＝1． 　　∴A(a，0)，B(0，b)，且a＞0，b＞0． 　　∵點P(2，1)在直線l上，故＋＝1． 　　由均值不等式：1＝＋≥2·得ab≥8． 　　當(dāng)且僅當(dāng)＝＝， 　　即a＝4，b＝2時，S△AOB的面積S＝ab有最小值4， 　　此時l方程為＋＝1． 　　即x＋2y－4＝0． 　　思路三　　若考慮到圖形的直觀性，利用形數(shù)結(jié)合的思想，又可得到如下兩種幾何味很濃的解法． 　　解法三　　如下圖，過P(2，1)作x軸與y軸的垂線PM，PN，垂足分別為M，N． 　　設(shè)θ＝∠PAM＝∠BPN， 　　則△AOB面積 　　S＝S矩形OMPN＋S△PAM＋S△BPN 　�。�2＋×1×cotθ＋×2×2tanθ 　　＝2＋cotθ＋2tanθ 　　≥2＋2·＝4 　　當(dāng)且僅當(dāng)cotθ＝2tanθ， 　　即tanθ＝時，S△AOB有最小值4． 　　此時直線l的方程為y－1＝－(x－2)， 　　即x＋2y－4＝0． 　　解法四　　如圖所示，過P(2，1)作直線交x軸、y軸于，兩點，使點P為線段中點，再過點P(2，1)作任一與直線不重合的直線AB，交x軸、y軸于A，B兩點．不妨設(shè)|OB|＞||，過作∥Ox，交AB于點C，不難證明： 　　△≌△， 　　因而S△PAA′＝S△PCB′， 　　∴S△PBB′＞S△PAA′， 　　∴S△AOB＞S△A′OB′ 　　∴△的面積最小．由條件易得(4，0)，(0，2)，故所求△AOB的最小面積為S＝×4×2＝4，此時l的方程為＋＝1，即x＋2y－4＝0． 　　評析　　(1)本題用了四種解法，這四種解法各有特點，運用了不同的知識，也體現(xiàn)了知識運用的靈活性．解法一和解法二充分體現(xiàn)了用代數(shù)方法解決幾何問題的思想，這也是解析幾何的基本思想；而解法三、解法四則運用了數(shù)形結(jié)合的方法，整個過程顯得自然、簡捷、清楚、巧妙．?dāng)?shù)形結(jié)合法是高中數(shù)學(xué)中最常用也是最重要的方法之一，在高考中也扮演著重要的角色，應(yīng)充分重視． 　　(2)直線方程的不同形式各自表達(dá)了直線在直角坐標(biāo)系中的幾何特征，為我們根據(jù)不同的幾何條件建立直線方程提供了選擇的方便，但必須注意不同形式方程的適用范圍．點斜式與斜截式不能表示垂直于x軸的直線；截距式不能表示垂直于坐標(biāo)軸(x軸和y軸)和經(jīng)過原點的直線；兩點式方程的分式形式＝不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線，但如果把它寫成整式形式(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，則可表示任何直線，上述特殊形式的直線方程都具有共同的特征二元一次方程，從這點出發(fā)，就產(chǎn)生了直線的一般式方程，一般式方程適用于任何直線，這一優(yōu)點決定了它在理論方面的研究價值．在一定條件下，直線方程的一般式與特殊式可以互相轉(zhuǎn)化，要善于理解不同的條件和需要選用適當(dāng)形式的直線方程，當(dāng)選用有限制條件的特殊形式時，最后一定不要忘記檢驗遺漏的直線是否符合題意，以免漏解． 　　(3)要正確理解“截距”這一概念，“截距”并非指距離，一般地，曲線C與y軸(x)軸的交點的縱坐標(biāo)(橫坐標(biāo))叫做曲線C在y軸(x軸)上的截距，故截距可取一切實數(shù)，而距離必須大于或等于0．