Question

【題目】設(shè)是實(shí)數(shù)，函數(shù) ．

（1）求證：函數(shù)不是奇函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；

（3）求函數(shù)的值域（用表示）．

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析(2)時(shí)，不等式解集為；時(shí)，不等式解集為 (3)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)?/span>；時(shí)，函數(shù)值域?yàn)?/span>；時(shí)，函數(shù)值域?yàn)?/span>

【解析】

（1）可以用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)是奇函數(shù)，應(yīng)有，而，所以函數(shù)不是奇函數(shù)；

（2）因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，不等式可以化為即

，因?yàn)?/span>，所以，即，對(duì)和的情況進(jìn)行分類討論，解不等式；

（3）令，則且，對(duì)和的情況進(jìn)行分類討論，去絕對(duì)值符號(hào)，得到兩種情況下的函數(shù)解析式，再分別計(jì)算函數(shù)值域

解：（1）假設(shè)是奇函數(shù)，那么對(duì)于一切恒成立，可得，而，所以函數(shù)不是奇函數(shù)

（2）因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，不等式可以化為即

，因?yàn)?/span>，所以，即

①當(dāng)，即時(shí)，不等式恒成立，故的取值范圍是．

②當(dāng)，即時(shí)，不等式得，故的取值范圍是

（3）令，則且．

①若，則是增函數(shù)，其取值范圍為；

②若，則

對(duì)于，有．當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的最小值是，取值范圍是（時(shí)）或者取值范圍是（時(shí)）

對(duì)于，有是增函數(shù)，其取值范圍為

綜上所述，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?/span>；當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?/span>．