Question

二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）
（Ⅰ）若方程f（x）=0無實(shí)數(shù)根，求證：b＞0；
（Ⅱ）若方程f（x）=0有兩實(shí)數(shù)根，且兩實(shí)根是相鄰的兩個整數(shù)，求證：f（-a）=

1

4

(a2-1)；
（Ⅲ）若方程f（x）=0有兩個非整數(shù)實(shí)根，且這兩實(shí)數(shù)根在相鄰兩整數(shù)之間，試證明存在整數(shù)k，使得|f（k）|≤

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）方程f（x）=0無實(shí)根時，由判別式△＜0即可證出b＞0；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=0的兩實(shí)根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，則根據(jù)韋達(dá)定理及x₁，x₂是相鄰整數(shù)可得到

x1+x2=-a x1x2=b x2-x1=1

，所以得到a²-4b=1，f（-a）=

1

4

(a2-1)；
（Ⅲ）根據(jù)f（x）=0有兩個實(shí)數(shù)根，所以判別式△=a²-4b≥0，b≤

a2

4

．并且設(shè)m＜x₁，x₂＜m+1，m∈Z，并且二次函數(shù)對稱軸滿足m＜-

a

2

＜m+1，f（m）=m2+am+b≤m2+am+

a2

4

=(m+

a

2

)2，所以需求m+

a

2

的范圍，根據(jù)前面對稱軸的范圍得到-1＜m+

a

2

＜0，這樣會得到f（m）＜1，而要證的是|f（k）|≤

1

4

．所以可以想著將m＜-

a

2

＜m+1分成m＜-

a

2

≤m+

1

2

，和m+

1

2

＜-

a

2

＜m+1這兩種情況再去求m+

a

2

的范圍即可證得該問．

解答： 證明：（Ⅰ）若方程f（x）=0無實(shí)根，則△=a²-4b＜0，即b＞

a2

4

，

a2

4

≥0，∴b＞0；
（Ⅱ）設(shè)兩整根為x₁，x₂，x₁＜x₂，則

x1+x2=-a x1x2=b x2-x1=1

；
∴a2-4b=1，b=

a2-1

4

；
∴f(-a)=b=

1

4

(a2-1)；
（Ⅲ）設(shè)m＜x₁，x₂＜m+1，m為整數(shù)，則：
a²-4b≥0，∴b≤

a2

4

；
（1）若-

a

2

∈(m，m+

1

2

]，即-

1

2

≤m+

a

2

＜0；
f（m）=m2+am+b≤m2+am+

a2

4

=(m+

a

2

)2≤

1

4

；
（2）若-

a

2

∈(m+

1

2

，m+1)，即0＜m+1+

a

2

＜

1

2

；
f（m+1）=（m+1）²+a（m+1）+b≤(m+1)2+a(m+1)+

a2

4

=(m+1+

a

2

)2＜

1

4

；
∴存在整數(shù)k，使得|f（k）|≤

1

4

．

點(diǎn)評：考查一元二次方程取得實(shí)根的情況和判別式△的關(guān)系，以及韋達(dá)定理，二次函數(shù)的對稱軸．