Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足：對于任意實數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+

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 恒成立，且當(dāng)x＞0時，f（x）＞-

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恒成立；
（1）求f（0）的值．
（2）判定函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，則可得f（0）=-

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；
（2）設(shè)x₁＞x₂，由已知可得f（x₁-x₂）＞-

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，再利用f（x+y）=f（x）+f（y）+

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 及增函數(shù)的定義即可證明．

解答： 解：（1）證明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）+

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2

 
得f（0）=f（0）+f（0）+

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，
∴f（0）=-

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（（2）函數(shù)y=f（x）為增函數(shù)，理由如下
設(shè)x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，
∵x＞0時，f（x）＞-

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，
∴f（x₁-x₂）＞-

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，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）+

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＞f（x₂）
∴函數(shù)y=f（x）是R上的增函數(shù)；

點評：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，深刻理解函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義及充分利用已知條件是解決問題的關(guān)鍵．