Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-mx（m＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先研究函數(shù)的定義域，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間，注意分類討論；
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)在該區(qū)間上的極值，最值以及端點值的符號，最終確定函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）由題得f′(x)=

1

x

-m=

-m(x- 1 m )

x

(x＞0，m＞0)，
當0＜x＜

1

m

時，f'（x）＞0；當x＞

1

m

時，f'（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

1

m

)，單調(diào)遞減區(qū)間是(

1

m

，+∞)，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在(0，

1

m

)上單調(diào)遞增，在(

1

m

，+∞)上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上最多有2個零點，
而且f(x)max=f(

1

m

)=ln

1

m

-1，f（1）=-m＜0；
（�。┤艉瘮�(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上有2個零點，
則

f(e)≤0 1＜ 1 m ＜e f( 1 m )＞0 m＞0

，此不等式組無解，
所以不存在m＞0，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上有2個零點；
（ⅱ） 若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上僅有1個零點，
則

f(e)≥0 m＞0

，解得0＜m≤

1

e

，
所以當0＜m≤

1

e

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上僅有1個零點，
（ⅲ） 若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上無零點，
結(jié)合（ⅱ）知m＞

1

e

，即0＜

1

m

＜e，
則

f(e)＜0 f( 1 m )＜0 m＞0

，解得m＞

1

e

，
所以當m＞

1

e

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上無零點．
綜上所述，當0＜m≤

1

e

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上有1個零點，
當m＞

1

e

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上無零點．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值和端點值，最終確定函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)的方法．要注意結(jié)合圖象解決問題．