Question

若函數f（x）滿足下列條件：在定義域內存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數f（x）具有性質M；反之，若x₀不存在，則稱函數f（x）不具有性質M．
（1）證明：函數f（x）=3^x具有性質M，并求出對應的x₀的值；
（2）已知函數h（x）=lg

a

x2+1

具有性質M，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,新定義,函數的性質及應用

分析：（1）由新定義，將f（x）=3^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），化簡計算即可得證；
（2）h（x）的定義域為R，且可得a＞0．因為h（x）具有性質M，所以存在x₀，使h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），代入化簡整理得到二次方程，討論a=2，a≠2，且判別式大于等于0，解出它們求并集即可得到所求的范圍．

解答： （1）證明：f（x）=3^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得：3x0+1=3x0+3，
即：3x0=

3

2

，解得x0=log3

3

2

． 
所以函數f（x）=3^x具有性質M．
（2）解：h（x）的定義域為R，且可得a＞0．
因為h（x）具有性質M，所以存在x₀，使h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），
代入得：lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

．化為2(x02+1)=a(x0+1)2+a，
整理得：(a-2)x02+2ax0+2a-2=0有實根．
①若a=2，得x0=-

1

2

．
②若a≠2，得△≥0，即a²-6a+4≤0，解得：a∈[3-

5

，3+

5

]，
所以：a∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．
綜上可得a∈[3-

5

，3+

5

]．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查指數函數和對數函數的性質及運用，考查運算能力，屬于中檔題．