Question

11．定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=f（x-2）且f（-2-x）=f（-2+x），當x∈[0，2]時，$f（x）=cos\frac{π}{4}x$．
（1）求當x∈[-4，0]時，f（x）的解析式；
（2）求當$f（x）≥\frac{1}{2}$時，x的取值范圍．

Answer 1

分析 利用函數的周期性及周期性和奇偶性，把所求區(qū)間變已知區(qū)間求解；（2）先求一個周期的解集，再利用周期求解．

解答 解：（1）：函數f（x）滿足f（x+2）=f（x-2）⇒f（x）周期為4，又f（-2-x）=f（-2+x）=f（x+2），∴f（x）為偶函數．
∴當x∈[-2，0]時，$f（x）=f（-x）=cos\frac{π}{4}x$
當x∈[-4，-2）時，$f（x）=cos\frac{π}{4}（x+4）=cos（\frac{π}{4}x+π）=-cos\frac{π}{4}x$
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-cos\frac{πx}{4}…x∈[-4，2）}\\{cos\frac{πx}{4}…x∈[-2，0]}\end{array}\right.$
（2）x∈[0，4]時，f（x）=cos$\frac{πx}{4}$$≥\frac{1}{2}$⇒[$-\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$]
x的取值范圍：$x∈[-\frac{4}{3}+4k，\frac{4}{3}+4k]，k∈Z$

點評 本題考查函數的周期性和奇偶性，屬基礎題．