Question

定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）是周期為4的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，2]時f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．
（1）求常數(shù)b，c的值；
（2）解不等式f（x）＞

3

4

．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）是周期為4的周期函數(shù)，可得f（0）=0且f（2）=0，結(jié)合當(dāng)x∈[0，2]時f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）可得常數(shù)b，c的值；
（2）當(dāng)x∈[0，2]時f（x）=x²-2x∈[-1，0]，不等式f（x）＞

3

4

無解，當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=-x²-2x＞

3

4

，解得x∈（-

3

2

，-

1

2

），結(jié)合函數(shù)y=f（x）是周期為4的周期函數(shù)，可得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=c=0，f（-2）=-f（2），
又由函數(shù)y=f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
∴f（-2）=f（2），
∴f（2）=4+2b=0，解得b=-2；
（2）由（1）得當(dāng)x∈[0，2]時f（x）=x²-2x∈[-1，0]，不等式f（x）＞

3

4

無解，
當(dāng)x∈[-2，0]時，-x∈[0，2]，f（-x）=x²+2x=-f（x），
故f（x）=-x²-2x，令f（x）=-x²-2x＞

3

4

，
解得x∈（-

3

2

，-

1

2

），
故不等式f（x）＞

3

4

的解集為：（4k-

3

2

，4k-

1

2

），k∈Z．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的解析式，解二次不等式，是函數(shù)圖象和性質(zhì)與二次不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．