Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx+sinx+cosx，且在△ABC中，sinA，sinB，sinC依次成等比數(shù)列，則f（B）范圍為（　�。�

• A、1≤f（B）≤

  2

• B、1＜f（B）≤

  2

  +

  1

  2

• C、

  2 6 +2 2 + 3 -2

  8

  ≤f（B）＜1
• D、

  2 6 +2 2 + 3 -2

  8

  ≤f（B）＜

  2

  +

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)題意sin²B=sinA•sinC，b²=ac，cosB=

a2+c2-b2

2ac

，求出B的范圍，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式得f（B）=

1

2

sin2B+

1+sin2B

利用三角函數(shù)單調(diào)性求解．

解答： 解：在△ABC中，sinA，sinB，sinC依次成等比數(shù)列，
sin²B=sinA•sinC依次成等比數(shù)列，
根據(jù)正弦定理可知：b²=ac，
又根據(jù)余弦定理和不等式可以得到：
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2

2ac

-

1

2

≥1-

1

2

=

1

2

，
∵B∈（0．π），∴0＜B≤

π

3

，
∵函數(shù)f（x）=sinxcosx+sinx+cosx=

1

2

sin2x+

1+sin2x

∴f（B）=

1

2

sin2B+

1+sin2B

，0＜B≤

π

3

，
∵0＜2B≤

2π

3

∴0＜sin2B≤1，f（B）范圍為：1＜f（B）≤

2

+

1

2

故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)，三角形，不等式的知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)．